上賀茂神社と下鴨神社は賀茂社と称した１つの神社で上賀茂神社を「上社」、下鴨神社を「下社」と呼ばれていました。
このような形は現代で言えば長野の諏訪大社があります。正確には諏訪大社という神社はなく、諏訪湖周辺4か所にある神社(上社本宮、上社前宮、下社春宮、下社秋宮)の総称です。
京都市北区にある「上賀茂神社」の御祭神は、「賀茂別雷大神（かもわけいかづちおおかみ）」です。下鴨神社の御祭神である「賀茂建角身命（かもたけつぬみのみこと ）」と「玉依媛命（たまよりひめのみこと）」は、賀茂別雷大神の祖父と母にあたります。
元々は賀茂社と称したとおり、祭神も下鴨神社と上賀茂神社の御祭神を合わせると、親子3世代になり密な関係になります。
また、両神社とも、1994年にユネスコの世界文化遺産に登録されており、世界中から観光客が訪れる日本を代表する神社となっています。

神社名の違い

両神社の通称名「上賀茂神社」と「下鴨神社」は同じ「カモ」（という名称の神社であるにも関わらず、それぞれ漢字が違います。その理由は、両神社近くを流れる「川」にあります。その川は、上賀茂神社があるあたりの上流付近では「賀茂川」と呼ばれていますが、下鴨神社がある付近の高野川との合流地点から南側は「鴨川」という名前に変わります。そのため、神社の漢字も異なっているのです。

御神紋

上賀茂神社と下鴨神社の御神紋は二葉葵で一緒です。神社の社殿なので二葉葵の印が見えます。御朱印にも二葉葵が見られますが微妙にデザインが異なっています。

どちらの神社から参拝すべきなのか？

1日で両神社を参拝する方も多いでしょうが「どちらの神社から参拝すべきなのか？」という参拝の順番を悩まれる方も多いのではないかと思います。
結論から申し上げると、下鴨神社と上賀茂神社の参拝に決められた順番はありません。三重県伊勢市の「伊勢神宮」の外宮と内宮の場合は二社が対になっており、由緒や歴史、ご祭神なども全く異なるため、「外宮が先で内宮が後」というはっきりとした決まりがあります。
しかし、下鴨神社と上賀茂神社は御祭神が親子関係ですし、元々は「賀茂神社」と呼ばれるひとつの神社だったため、そのような決まりがありません。「上社」「下社」も単なる呼び名に過ぎず、上下関係はありません。ですので、どちらを先に参拝しても良いですし、どちらか片方の神社だけの参拝でも問題ありません。あまり深く考えず、自分の好きな参拝順序で気軽に参拝するのがおすすめです。